約数が多い数

夏休みの自由研究というほどでもないですが、約数が多い数を考えてみました。例えば12だと、

12 = 1 x 2^2 x 3

約数：1, 2, 3, 4, 6, 12

となり6個あります。

5も約数に加えようと思うと、5は素数なので因数に加える必要があります。

1 x 2^2 x 3 x 5 = 60

約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

となり12個。

7も約数に加えようと思うと、上記と同様。

1 x 2^2 x 3 x 5 x 7 = 420

約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70,84, 105, 140, 210, 420

となり24個。

8と9も加えて、1から10までのすべての数で割り切れる最少の数を探すと、さらに2と3をそれぞれひとつずつ因数に加えればよいので、

1 x 2^3 x 3^2 x 5 x 7 = 2520

約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35,36, 40, 42, 45, 56, 60, 63, 70, 72, 84, 90, 105, 120, 126, 140, 168, 180, 210, 252,280, 315, 360, 420, 504, 630, 840, 1260, 2520

となりなんと48個も！

自然数　　　約数

12 　　　　　 6

　　　）x 5

60 　 　　　　12

　　　）x 7

420 　　　 　24

　　　）x 6

2520 　　　　 48

一桁の数字の約数を増やそうとして元の自然数を12から5倍、7倍、6倍するごとに約数の数はそれぞれ2倍となっています。ここに何か法則のようなものがあるのかどうか、たいへん微妙な関係に見えますが、どなたかご存知でしょうか？

というわけで、1から10までのすべての数で割り切れる最少の数は2520で、その約数は48個もある（多分）！というトリビアと言えるかどうかも微妙な知見が得られましたが、それ以上のオチはありません。